僕の頭の備考欄

空間曲線の曲率と捩率, フレネ・セレの公式について定義とその意味を概観する.

実数 $\mathbb{R}$ 上の区間 $I \in \mathbb{R}$ のパラメータ $t$ によって定まる曲線 $f(t) = (x(t), y(t), z(t))$ を空間曲線という. ( $f(t) = (x(t), y(t))$ は平面曲線.)

この空間曲線 $f(t)$ に対して,

\begin{align} s(a, b) = \int _a ^b \left| \frac{d}{dt} f(t) \right| dt = \int _a ^b \sqrt{\left(\frac{d}{dt} x(t)\right)^2 + \left(\frac{d}{dt} y(t)\right)^2 + \left(\frac{d}{dt} z(t)\right)^2} dt \end{align}

を曲線 $f(t)$ の $a$ から $b$ までの弧長といい, 曲線の $t=a$ から $t=b$ までの長さを表す.

この弧長に関して弧長パラメータという概念を導入する. いま, 曲線上の点 $t$ までの弧長を

\begin{align} s(a, t) = \int _a ^t \left| \frac{d}{dt} f(t) \right| dt = \int _a ^t \sqrt{\left(\frac{d}{dt} x(t)\right)^2 + \left(\frac{d}{dt} y(t)\right)^2 + \left(\frac{d}{dt} z(t)\right)^2} dt \end{align}

としたとき, $s(a, t)=s$ の右辺を $L(t)$ とおくと, 逆関数 $L^{-1}$ が存在して $t=L^{-1}(s)$ と書ける. これを用いて

\begin{align} f(t) = f(L^{-1}(s)) \end{align}

とすると曲線 $f$ の弧長 $s$ をパラメータとした表示が得られ, この $s=s(a, t)$ を弧長パラメータ, $f(s) = f(L^{-1}(s))$ を弧長パラメータ表示という.

わざわざ弧長を曲線のパラメータとして用いるのは, 後述する曲線の接ベクトルが自然に単位ベクトルになるから. この便利な性質から曲率などの話をする際には曲線を弧長パラメータ表示に変換して議論を進めることが多い. (もちろん弧長パラメータ表示を用いなくても曲率や捩率は計算できる.)

以下, 通常のパラメータを $t$ , 弧長パラメータを $s$ として用いる.

曲線 $f(t)$ に対して, $\frac{df(t)}{dt} = (\frac{d}{dt}x(t), \frac{d}{dt}y(t), \frac{d}{dt}z(t))$ を $f$ の $t$ における接ベクトルといい, 点 $t$ における接線方向のベクトルを表す.

この接ベクトルを正規化したものを単位接ベクトルといい, $e_1$ で表す. つまり,

\begin{align} e_1 (t) = \frac{\frac{df(t)}{dt}}{\left|\frac{df(t)}{dt} \right|} \end{align}

これを弧長パラメータを用いて定義すると以下のようになる.

定義(単位接ベクトル)

空間曲線 $f(t)$ とその弧長パラメータ $s$ に対して,

\begin{align} e_1 (s) = \frac{df(s)}{ds} \end{align}

を単位接ベクトルという.

単位接ベクトルを用いて曲率ベクトルと曲率が定義できる.

定義(曲率(Cuvation))

弧長パラメータ表示された曲線 $f(s)$ とその単位接ベクトル $e_1(s)$ に対して,

\begin{align} k(s) = \frac{e_1 (s)}{ds} = \frac{d^2 f(s)}{ds^2} \end{align}

を曲率ベクトルという.

曲率 $k$ に対して

\begin{align} \kappa (s) = |k(s)| \end{align}

を曲率という.

曲率ベクトル $k$ は点 $s$ における曲線の法線ベクトルである.

曲率 $\kappa (s)$ は曲率ベクトルの絶対値であり, 単位長さあたりの接ベクトルの変化率を表す. より直感的には点 $s$ における曲線の曲がり具合を表している.

曲率ベクトル(法線ベクトル) $k$ を正規化したものを主法線ベクトルといい $e_2$ で表す.

定義(主法線ベクトル)

弧長パラメータ表示された空間曲線 $f(s)$ とその曲率ベクトル $k(s)$ に対して

\begin{align} e_2 (s) = \frac{k(s)}{\kappa (s)} = \frac{k(s)}{|k(s)|} \end{align}

を主法線ベクトルという.

単位接ベクトル $e_1$ と主法線ベクトル $e_2$ の外積をとったものを従法線ベクトルといい $e_3$ で表す.

定義(従法線ベクトル)

弧長パラメータ表示された空間曲線 $f(s)$ とその単位接ベクトル $e_1$ , 主法線ベクトル $e_2$ に対して,

\begin{align} e_3 (s) = e_1 (s) \times e_2 (s) \end{align}

を従法線ベクトルという.

ここで $e_1, e_2, e_3$ は正規直交基底(互いに直交し長さが1である)をなす.

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定義(Frenet標構)

弧長パラメータ表示された空間曲線 $f(s)$ とその単位接ベクトル $e_1$ , 主法線ベクトル $e_2$ , 従法線ベクトル $e_3$ に対して,

正規直交基底 $(e_1, e_2, e_3)$ をFrenet標構あるいは動標構という.

主法線ベクトル $e_2$ , 従法線ベクトル $e_3$ を用いて捩率が定義される.

定義(捩率(Tortion))

弧長パラメータ表示された空間曲線 $f(s)$ とその主法線ベクトル $e_2$ , 従法線ベクトル $e_3$ に対して,

$\begin{align} \tau (s) = \frac{d e_2(s)}{ds} \cdot e_3 (s) \end{align}$

を捩率という.

捩率(tortion)は曲線の点 $s$ における曲線のねじれ具合を表している. 具体的には点 $s$ における単位接ベクトルと主法線ベクトルが張る平面に対する曲線の離れ具合を示す量である.

ここで, 単位接ベクトル, 主法線ベクトル, 従法線ベクトル, そして曲率と捩率の関係を示した式をフレネ・セレの公式という.

定理(Frenet-Serretの公式)

弧長パラメータ表示された空間曲線 $f(s)$ とその接ベクトル $e_1$ , 主法線ベクトル $e_2$ , 従法線ベクトル $e_3$ , 曲率 $\kappa$ , 捩率 $\tau$ に対して,

$\begin{cases} &\frac{de_1}{ds} = \kappa e_2 \\ &\frac{de_2}{ds} = -\kappa e_1 + \tau e_3 \\ &\frac{de_3}{ds} = -\tau e_2 \end{cases}$

ここで重要なのはフレネ・セレの公式から, 曲率と捩率が定まると空間曲線の形が一意に定まるということ.

僕の頭の備考欄

徒然なるままに日々の発見を書き綴ります．数学/情報技術/ダンス要するに雑記です．

【微分幾何】空間曲線の曲率と捩率とFrenet-Serreの公式