統計検定1級 2018 統計数理 問1 解説
統計検定1級 2018 数理
は母分散の不偏推定量であること, すなわちを示せ.
解 \begin{align} \sum _{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 &= \sum _{i=1}^{n} (X_i - \bar{X} + \bar{X} - \mu) ^2 \\ &= \sum _{i=1}^{n} \left( (X_i - \bar{X})^2 +2(X_i - \bar{X})(\bar{X} - \mu) + (\bar{X} - \mu)^2 \right ) \\ &= \sum _{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 + \sum _{i=1}^{n} 2(X_i - \bar{X})(\bar{X} - \mu) + \sum _{i=1}^{n} (\bar{X} - \mu)^2 \\ &= \sum _{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2 \hspace{10mm} \therefore \sum _{i=1}^{n} (X_i - \bar{X}) = 0 \\ \iff \sum _{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 &= \sum _{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 - n(\bar{X} - \mu)^2 \hspace{15mm}\clubsuit \end{align}
ここで,
に注意して式の両辺をで割って期待値を取ると,
自由度のカイ二乗分布に従う確率変数をとしたとき, その確率密度関数は
$$ g(y) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma ( \frac{n-1}{2} )} \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{\frac{n-1}{2} } y ^{\frac{n-1}{2} -1} e ^{- \frac{y}{2} } & ( y \geq 0) \\ 0 & ( y < 0) \end{cases} \hspace{25mm}(1) $$ で与えられる. ここではガンマ関数である. (1)に関する積分を用いて, の期待値と分散はそれぞれであることを示せ. それにより, の分散を求めよ.解
\begin{align} E[Y] &= \int _0 ^{\infty} y \ g(y) dy \\ &= \int _0 ^{\infty} y \cdot \frac{1}{\Gamma ( \frac{n-1}{2} )} \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{\frac{n-1}{2} } y ^{\frac{n-1}{2} -1} e ^{- \frac{y}{2} } dy \\ &= \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{\frac{n-1}{2} } \int _0 ^{\infty} y ^{\frac{n-1}{2} } e ^{- \frac{y}{2} } dy \end{align}
ここで, 積分の項についてと変換を行うと,
\begin{align} \int _0 ^{\infty} y ^{\frac{n-1}{2} } e ^{- \frac{y}{2} } dy &= \int _0 ^{\infty} (2t) ^{\frac{n-1}{2} } e ^{- t } \cdot 2 \ dt \\ &= 2 ^{\frac{n+1}{2} } \int _0 ^{\infty} t ^{\frac{n-1}{2} } e ^{- t } \ dt \\ &= 2 ^{\frac{n+1}{2} } \Gamma \left( \frac{n+1}{2} \right) \end{align}
よって,
\begin{align} \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{\frac{n-1}{2} } \int _0 ^{\infty} y ^{\frac{n-1}{2} } e ^{- \frac{y}{2} } dy &= \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{\frac{n-1}{2} } 2 ^{\frac{n+1}{2} } \Gamma \left( \frac{n+1}{2} \right) \\ &= 2 \cdot \frac{n-1}{2} \\ &= n-1 \end{align}
であり, が示された.
についても同様に示す.
\begin{align} V[Y] &= \int _0 ^{\infty} \left( y - E[Y] \right) ^2 g(y) dy \\ &= \int _0 ^{\infty} \left( y - (n-1) \right) ^2 g(y) dy \\ &= \int _0 ^{\infty} y^2\ g(y) dy -2 (n-1) \int _0 ^{\infty} y\ g(y) dy + (n-1)^2 \int _0 ^{\infty} g(y) dy \\ &= (n+1)(n-1) -2(n-1)^2 + (n-1)^2 \\ &= 2(n-1) \hspace{10mm}\blacksquare \end{align}
標準正規分布に従う確率変数 個の和は自由度 のカイ二乗分布に従う. それにより, は自由度 のカイ二乗分布に従うことを用いる.
解
(2)のときと同様にする.
\begin{align} E[\sqrt{Y}] &= \int _0 ^{\infty} y^{\frac{1}{2}} \ g(y) dy \\ &= \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{\frac{n-1}{2} } \int _0 ^{\infty} y ^{\frac{n}{2} -1} e ^{- \frac{y}{2} } dy \\ &= \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} \left ( \frac{1}{2} \right ) ^{\frac{n-1}{2} } 2 ^{\frac{n}{2}} \Gamma \left( \frac{n}{2} \right) \\ &= \frac{\sqrt{2}\ \Gamma \left( \frac{n}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} \hspace{10mm}\blacksquare \end{align}
したがって, であることに注意すれば,
解
デルタ法を用いる.
確率変数についての関数 に対して, の 周りの2次までのテイラー展開により, と近似できる.
に対して とすれば,
であるので,