アーラン分布とポアソン分布の関係

指数分布に従う確率変数の総和が従う確率分布をパラメータのアーラン分布といい, その確率密度関数は,
$$f(z; n, \lambda ) = \frac{ \lambda ^{k} }{\Gamma (k) } z^{k - 1} e^{-\lambda z}$$
で表されます.

また, 「ある期間に平均回起こる現象が回起こる確率」は,
$$P(k) = \frac{ \lambda ^ k }{ k! } e^{- \lambda}$$
で表され, この確率分布をポアソン分布と言います.

を平均のポアソン分布に従う確率変数, をパラメータのポアソン分布に従う確率変数とすると,

$$P(Y \ge n) = P(Z \le t)$$

が成り立ちます.  これがアーラン分布とポアソン分布の間に成り立つ関係です.

(証明)

はアーラン分布でが以下になる確率なので,

\begin{align} P(Z \le t) &= \int _{0} ^{t} \frac{ \lambda ^{k} }{\Gamma (k) } z^{k - 1} e^{-\lambda z} dz \\ &= \frac{\lambda ^{k} } {(n - 1)! } \int _{0} ^{\lambda t}\left( \frac{y}{\lambda } \right) ^{ n - 1 } e^{ -y } \frac{1}{\lambda } dy \ \ \ \because y = \lambda t \\ &= \frac{1} {(n - 1)! } \int _{0} ^{\lambda t} y^{ n - 1 } e^{ -y } dy s\end{align}

と置き,  右辺に部分積分を施すと, 

\begin{align}I_{n - 1} = - \frac{1}{(n - 1)!} (\lambda t)^{n - 1} e^{-\lambda t} + I_{n-2}\end{align}

に注意してを再帰的に用いると,

\begin{align}I_{n - 1} &= - \frac{1}{(n - 1)!} (\lambda t)^{n - 1} e^{-\lambda t} - \frac{1}{(n - 2)!} (\lambda t)^{n - 2} e^{-\lambda t} - \cdots - e^{-\lambda t} + 1 \\ &= 1 - \sum _{k=0} ^{n-1} \frac{1}{k!} (\lambda t)^{k} e^{-\lambda t} \\ &= \sum _{k=n} ^{\infty} \frac{1}{k!} (\lambda t)^{k} e^{-\lambda t} \\ &= P(Y \ge n) \hspace{10mm}\blacksquare \end{align}