モーメント母関数を使って2変数の確率分布を求める
数理統計学のお話です。
2変数の従う確率分布を求める時、定義通りに重積分を用いて確率密度関数を導く計算をするのが基本的ですが、モーメント母関数を求めて既知の分布のモーメント母関数と比較することによって求めることもできます。例題(2017年度統計検定1級数理統計 大問4より)を使って考えてみます。
問題 互いに独立な
は
に従うとき, 
が従う確率分布を求めよ.
解
のモーメント母関数を求め, 既知の分布のモーメント母関数と比較することによって分布を特定します.
\begin{align} M_{z} (t) &= E(e^{tZ})\\ &= E(e^{ t(a+kX+Y) } )\\ &= e^{at} \cdot E(e^{tkX}) \cdot E(e^{tY}) \end{align}
ここで, は
に従うので,
\begin{align} E(e^{tkX}) &= \int _{- \infty } ^{\infty } e^{tkX} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\ &= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } e^{\frac{t^2 k^2}{2}} \int _{- \infty } ^{\infty } e^{-\frac{1}{2} (x-kt)^2 } dx\\ &= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } e^{\frac{t^2 k^2}{2}} \sqrt{2 \pi}\\ &= e^{\frac{t^2 k^2}{2}} \end{align}
3行目はガウス積分を適用しています. また, この結果で とすると,
\begin{align} E(e^{tY}) = e^{\frac{t^2}{2}} \end{align}
とわかります.
よって,
\begin{align} M_{z} (t) &= e^{at} \cdot e^{ \frac{t^2 k^2}{2}} e^{ \frac{t^2}{2}}\\ &= e^{ (at+\frac{k^2+1}{2}t^2) } \end{align}
この結果は正規分布のモーメント母関数と同じ形です. ここで, 平均, 分散
の正規分布のモーメント母関数は,
であることと比較すると,
は
に従うとわかります.
